從日常事物談分子對稱（上）

化學分子的對稱，對於化學家來說有非比尋常的意義。經常一個錯綜複雜的分子結構，就因為具有某些有系統的對稱性質，使得對它的研究不再棘手，也因而簡化了許多繁雜的理論與計算。這裡我們並不涉及深奧的化學理論，僅僅從一些日常的事物所具有的「對稱」性質，去聯想分子結構的「對稱」，進而建立初步的分子對稱概念。

對而不稱，稱而不對

首先我們先提到的，是關於中國詩詞上的對稱。自古以來中國的詩詞即講究字句的對仗及押韻，例如：一水護田將綠遶兩山排闥送青來（王安石）這是王安石在鄉村間休閒時，描寫附近環境的詩句。單從字面上看來，我們可以發現：「一」和「兩」相對，「山」和「水」相對，但以「對稱」的觀念來看，這僅能算是「對」（對應），而不能算作「稱」（相等）。因為「一」並不等於「兩」，「山」也不等於「水」！「青」和「綠」雖是對應，但也不完全相等，因為「青」是藍色。

再看看下面兩個例子：對而不稱：

無名天地之始有名萬物之母（老子）

「無」跟「有」，這是相對的意思，但並不相等，所以不能算是稱。

稱而不對：

半斤八兩

這個是「稱」（相等）而不對的形式。

旋轉對稱

因此，我們這裡所探討的對稱，必須要有「對」而且也要有「稱」。下面我們就來看看化學分子對稱的例子。

地球上最多也是最常看到的分子，也是一個很簡單的分子，那就是水分子了。現在我們即以水的分子（H₂O）為例，來看看「分子的對稱形式」。

水分子的兩個氫原子是相等的，於是這個對稱可以這樣來看（見圖一）：假使將這個分子沿H₂O的分子平面（所謂分子平面，即分子所在的平面；水分子恰由三個原子構成，因此這三個原子恰形成一個平面），通過氧原子的軸，將它旋轉180°（見圖一）。

原來左邊的H_a就到了右邊，而右邊的H_b變到了左邊；原先我們看到的是三個原子的正面，旋轉180°以後看到的則是它們的反面。但我們認為，原子都是球狀的，所以不管是正面也好、反面也好，它們看起來應該是一樣的。

以上我們所作的操作，就是一種最簡單的對稱運作（旋轉180°，通常以C₂來表示）。這裡的「對稱運作」是一種關於幾何圖形的動作，它所得的結果必須與原來的形狀完全相同（不可辨認）。這樣由旋轉一個角度而得到的對稱關係，叫作「旋轉對稱」，以C_n來表示，右下方的注碼表示旋轉的角度為360°／n。

在人體上來看，就不具有C₂的對稱，因為當一個人直立轉180°時你所見到的「背面」和原來的「正面」是不一樣的。但水分子轉180°後仍然與原來的一模一樣，這是一種二重對稱（C₂）。再從化學的觀點來看這個水分子，中間的「氧」原子和兩邊的「氫」原子都是相等的結合，因此這個分子是一個對稱的分子結構。

鏡面反映對稱

一個O₂H分子的對稱性是怎樣的呢？這種對稱和上述的不同。這個分子中，不再有如上述水分子一般對等的結合，這個分子中間的氧，一邊接的是氫，另一邊接的是氧〔見圖二（a）〕，因此這個分子便不具有C₂這樣的對稱性質了。但是這個分子另有一種特別的對稱性質。我們曉得，三個點可以構成一個平面，這三個原子（H、O、O）就可以看作同在一個分子平面上，這種對稱運作，就是將這整個平面的分子，對分子平面作鏡面的反射後所看到的結果〔見圖二（a）〕。這樣反射後你所見的是這個分子的反面，但就這整個分子來看，結構仍然是不變的（只是看到每個原子的反面，而其正、反面都是一樣的）。這樣的對稱性質，叫做「平面（鏡面）反映對稱」，以σ_v來表示。

此外，在同一個平面而由三個不同的原子所構成的分子，例如HOC1〔見圖二（b）〕，也有這種平面反映對稱的性質。

講到這裡不禁令人有了以下的疑問：「是不是具有相同原子排列的分子，就會有一樣的對稱呢？」或者，「對稱性質一樣的分子，是不是它們的結構就都是一樣的呢？」（想想看，答案可在後面找到。）

在此，我們看一看另一個例子，硫化氫分子（H₂S），它和H₂O的結構類似，因此也具有C₂的對稱性質。（事實上，由化學的觀點看來，氧和硫在週期表上是屬於同一族的元素，因此有許多性質都很類似。）

我們再回到探討水分子對稱性質的主題上。由於水分子也具有三個原子（H、H、O），因此水亦為平面型的分子（具有分子平面）。水分子除了C₂的旋轉對稱外，還有一個分子平面上的平面反映對稱，σ_v〔見圖三（b）〕。此外，水分子還有另外一個鏡面對稱平面──與分子平面垂直而且通過氧原子的平面，如果你作一次鏡面反射的操作後〔見圖三（a）〕，左右兩邊的氫原子就交換一次，但是其分子結構仍未改變，所以這也是一種對稱，我們以σ'_v來表示。

現在再舉一個常見的分子──二氧化碳（CO₂）──為例，來看看其他簡單的對稱情形〔見圖四〕。首先，我們可以發現，CO₂分子也具有兩重的旋轉對稱〔見圖四（a）〕，因為它的兩個氧原子在碳的兩旁，而且也是對等的。由於CO₂是直線形的分子，所以它的C₂操作，可選擇任何一個通過碳原子而與分子直線垂直的軸來運作，因此可說CO₂具有無限多個C₂軸。這樣的線狀分子，有一種特別的對稱性質，只要你是沿著這條線狀分子直線為軸，無論旋轉任意的角度，所得到的仍然是不變的結構，我們把這樣的旋轉對稱叫作「C_n」，即旋轉360°／n的角度的對稱，而n可為任何數目〔見圖四（d）〕。

另外，CO₂也有鏡面的對稱：一種是任何一個包含這整個分子的平面〔見圖四（C）〕，另一種是垂直於分子直線且通過碳原子的平面〔見圖四（b）〕，後者恰好是所有CO₂的C₂對稱軸所成的集合。

中心反映對稱

在CO₂分子中，我們還要引入一種特別的對稱觀念，叫做「中心反映對稱」，用i來表示。CO₂分子中，碳原子是中心，而兩個氧原子在兩旁，在中心反映對稱操作下，左邊的氧原子映射到右邊，而右邊的氧原子則到了左邊，整個分子也由正面變成了反面。這種對稱性質完全是分子幾何結構的對稱，因此這個分子一定要具有幾何的對稱中心〔見圖四（e）〕。

舉個常見的例子來解釋中心反映對稱：由字母的觀點來看，CIVIC這個字是完全對稱於中心的（以V為中心，I對I、C對C），但以我們分子中心反映對稱的觀點來看，對稱操作以後的結果應該是〔見圖五（a）〕；同樣的，RACECAR經過對稱操作得到的是〔見圖五（b）〕。二者在中心反映對稱的觀點下，就不具有對稱性質了。到這為止，各位應該對於分子對稱有些初步的概念。簡言之，分子的對稱必須完全由「幾何」的觀點來探討，我們日常生活中的「對稱」觀念，並不全由幾何的角度去觀察的，因此在這裡並不完全適用。

讓我們回到日常生活的事物上，來看看中國人所發明的「八卦」（見圖六）。八卦圖上共有八個「卦」，每一卦由三組線段排列而成，其中每一組線段均可為一條長線段（－），或者兩條短線段（－－）構成；由於每一組線段都可以有上述兩種選擇之一，所以可以組成8個（2×2×2=2³=8）不同的「卦」。至於八卦的對稱，我們可以這樣來看：三組長線段的對面，是三組短線段；而兩長一短者，則對應到一長兩短的，其餘依次類推，這也可說是一種不同的對稱（相反的對應關係）。

另外，還有如圖七的例子，這是一個由數字構成的矩陣，你應該不難發現一件事：這個矩陣內的元素，不論由橫、豎或者是對角，其總和皆為15；我們也可以說這是一個和為10的對稱（例如2＋8、6＋4、7＋3、1＋9）。

二重、三重、四重及六重旋轉對稱

現在，再回到對稱運作的主題上，我們來看看一些比較複雜的旋轉對稱。在這之前我們曾提到兩重的旋轉對稱，C₂，旋轉360°／2＝180°的對稱性質。假設有一個C₄的對稱，那麼這四重的對稱，就是指一個分子旋轉360°／4＝90°以後形狀仍然保持不變的對稱操作，至於這樣的旋轉是順時針或者逆時針的旋轉，所得到的結果應該是相同的。習慣上是取順時針方向為（＋），而反時針為（－）來表示，這樣一來，旋轉-90°和＋270°所得到的就是同一個位置了。（我們把旋轉270°視作連續三個90°的旋轉，寫作【瀏覽原件】，而-90°寫作【瀏覽原件】，所以【瀏覽原件】）。

三重旋轉對稱的表示法為C₃（即旋轉360°／3＝120°），圖八列舉了三個實際的例子，圖九即為四重旋轉對稱（C₄）常見的圖形。

圖十是四重旋轉對稱，一個特別的例子。一個是在廟宇上常見的符號，另一個則是二次世界大戰期間德國納粹的符號。這兩個符號的對稱性質是完全一樣的（包括C₄、σ、i），但顯然兩者的幾何形狀截然不同。因此這回答了前面提及的一個問題：對稱性相同卻不一定會具有一樣的幾何結構。附帶一提的是這兩個符號象徵的意義也是完全不同，一個是「和平與世無爭」，另一個卻是「戰爭侵略霸占」，成了強烈的對比。

六重旋轉對稱：

如苯分子（C₆H₆，見圖十一）為一個六圓環結構（即正六邊形結構），具有C₆（360°／6＝60°）的對稱性質。自然界中亦有不少的六重對稱，例如六角形的蜂巢即是（見圖十二）

在這裡，我再列舉一段杜甫的詩：

窗含西嶺千秋雪，

門泊東吳萬里船。

由字句間我們又可以看出很多相對的用字，像是「窗」對「門」、「西」對「東」，還有「千」對「萬」，相信各位都已經了解：以上的這些字僅僅是「對」（對應），並不算是「稱」（相等）。但這裡面有一個字，我想它與六角形對稱特別有關，值得介紹給各位。那就是「雪」。雪花是由水分子構成多種不同的結構，恰好都是六角形的對稱（見圖十三），圖案非常漂亮。

甲烷的分子結構

以上介紹的都是簡單的旋轉對稱的例子，相信各位不難從每個例子中找出它們的對稱軸吧？接下來我們來看看一個幾何形狀簡單，但是具有一種較複雜對稱性的分子結構。

天氣冷的時候，在過去我們都是以燒煤氣來取暖的，煤氣中有一個重要的成分──甲烷（CH₄）。關於甲烷氣體的化學性質，大家應該略有了解：甲烷是僅由碳及氫原子構成的氣體化合物，在空氣中和氧作用（燃燒）時，甲烷的碳原子變成CO₂，而氫原子變為H₂O。

這樣一個甲烷分子裡面，有四個C─H鍵結，每一個C─H鍵都是對等的（這是一個合理的假設），那麼，這四個氫原子會是怎樣的排列呢？我們先看看，是不是有可能為平面型分子結構〔見圖十四（a）〕。甲烷分子中，四個氫原子的地位是相同的，因此，每一個氫原子與碳原子之間的距離一定要相等，而且，氫原子彼此間（一個氫原子與另外三個氫原子）的距離也應該相等才對。但是，如果整個分子都在同一個平面上，那就會發現：東邊氫原子和北邊氫原子的距離，小於北邊氫原子到南邊氫原子的距離（），所以，這樣的幾何結構是無法使四個氫原子完全對等的。

那麼，如何才能使這四個氫原子都是對等的呢（它們彼此間的關係相等，而且它們相對於碳原子的關係也是相等的）？我在這裡直接介紹一個常見的分子幾何結構給各位認識，就是正四面體（tetrahedron）結構，即將碳放在正四面體的中央，而四個氫原子分別位於四個角上，真正的化學鍵則是每個C─H的連線〔見圖十四（c）〕，圖上的虛線只是為了方便大家了解這樣一個形狀而畫的，並非化學鍵。但是，為了要能讓我們對這個分子的對稱性質能一目瞭然，我們將這個正四面體結構以另外一種表示法來說明〔見圖十四（b）〕。把甲烷的碳原子放在一個正立方體的中央，四個氫原子則放在每一面正方形的對稱位置〔見圖十四（b）〕，這樣也是正四面體分子的表示法之一。

現在我們注意一下這個分子所具有的對稱性質。首先，這個分子並沒有四重的旋轉對稱〔C₄見圖十四（b）〕：旋轉90°後並未得到相等的結構，但是你若再經過一種對稱運作──透過立方體中央的鏡面之平面對稱運作（σ）──就可以得到一個與原來分子相當的結構。這種較複雜的對稱──同時經過旋轉及鏡面兩種對稱──稱為四重旋轉／反映對稱（S₄），而S₄＝C₄.σ。當然，甲烷分子還有幾種比較簡單的對稱性質，相信各位都可以找得到，請試試看。

常見的壘球，上面的線條（見圖十五）也可以看作S₄的對稱。圖十五實線的部分是球面上方的線條，而虛線則代表壘球背面的條紋，如果旋轉90°，再經過鏡面對稱（上面的條紋映射到背面，而背面則反映到上面來），就能得到原來的樣子，這很像上述的對稱性質（S₄＝C₄.σ）。

下面有一個結構略為複雜的分子（見圖十六），實線和虛線部分相差90°，而且恰在正立方體的上面及下面，所以也有S₄的對稱性質。

（未完，下期待續）

丘應楠任教於美國天主教大學，中研院院士；簡敦誠畢業於台灣大學化學系，現服役中

白堊紀／第三紀隕石坑遺址在墨西哥？

袁尚賢 節譯

波普（Pope）、歐堪坡（Ocampo）及杜勒（Duller），在五月九日出刊的《自然》〔Nature, 351：105, 1991〕中報告，用EOSAT衛星照片發現Chicxulub隕石坑周圍，有一圈當地叫作Cenotes的石灰岩豎洞群（sink holes），形成一個直徑為170公里的正圓形。

豎洞圈子內的第三紀石灰岩沒有什麼裂痕，而圈子外的同年代石灰岩卻充滿裂痕（見圖），這個圈子的地下水流動增加，造成石灰岩快速溶化而下陷成豎洞。而且此圈與海岸線相交處，出現淡水泉，也是水流較遠之故。豎洞直徑在50∼500公尺之間，水深2∼120公尺，在西南方每平方公里有三個洞，東南方則間隔3公里才有一洞。

此坑直徑大於200公里，是已知隕石坑之最。

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