數學千面人──曲面的示性數

狂風暴雨之後森林裡一個小角落，埋在地下好久的一顆孢子，經過雨水滋潤，居然醒了過來而冒出個蘑菇。不僅如此，成熟之後，它又淬噴出一群小孢子，很快的這些小孢子趁著潮濕的環境，長出大大小小的蘑菇，這樣一圈圈的循環，一直到地面乾了，才停下來，靜靜的等下一次風雨。上面所描寫的是數學解題高手波力亞（G. Polya）用來形容數學定理的生態，是形成一個個聚落而不會落單的。我們現在就是要找一夥有關曲面示性數（characteristic）順藤摸瓜的，把他們一個個揪出來亮一亮，檢驗看看波力亞的數學蘑菇生態，究竟是什麼個樣子。

（編者案：本文的重點就在這裡──數學定理的生態例舉；本文所牽涉到的數學層次很高，不要說證明，連定義都難說明清楚。讀者不妨就把這些數學名詞當作各種不同的花名；雖然不一定懂得各種花朵的生理，但不同花朵聚在一起所成的花園，我們還是可以欣賞的。）

拓樸的看法

凡是在慶典的時候，人們喜歡把大樓妝扮得光輝燦爛，甚至有騷包的業主，把整棟樓用燈飾框起來。在連接線路時，在一長條的邊上用的是串聯。而在交會的地方用並聯。仔細數一數，把該並聯地方交點的個數（V），串聯地方長邊的條數（E），還有牆面包括底層的面數（F）全記下來，分別用V、E和F代表，得到一個關係式

V－E＋F＝2

不管這樓是台北尖頂的總統府也好，或是高雄平頂的大統公司也罷，百試不爽。這個式子是獨眼龍歐拉（L. Euler）的公式。當然歐拉是沒有這份福氣，能看到這些美輪美奐的大樓，他是從擺弄多面體的經驗，得到的結果。後來法國的彭卡瑞（H. Poincaré）加料修改，推廣到其他的曲面。首先在曲面上畫了許多點、邊和面。每種的個數分別叫P₀、P₁和P₂。這個曲面的示性數，用x來表示就是

x＝P₀－P₁＋P₂

用在球面時，就得回歐拉公式，利用這個式子，很容易導出正多面體只有五種（見圖一）。目前通常用一個最簡單的分割方式，而且用同調群（homology group）的維數，也叫貝蒂數（Betti）──β_k來取代p_k

x＝β₀－β₁＋β₂

這樣加減交疊而成的式子，大致是以下討論的基調。

除了貝蒂數以外，還有許多旁的，例如迪讓（de Rham）拿K階調和形式（harmonic form）的維數h_k來取代p_k。這些調和形式，在0階的只有常數，2階的就是面積形式的常倍數。1階的又是成雙成對的出現，所以h₀=h₁=1且h₁=2g，這裡的整數g叫做「虧格」（genus），相當於曲面上洞的個數，是個最基本的拓樸量。所以示性數就可以寫成x=2(1-g)。後來哈奇（W.Hodge）用全純形式（holomorphic form）來代替調和形式，也有類似的公式。用在複流形上真是隨心所欲無往不利。只是曲面必須是平滑的，一旦遇到有尖銳的奇點，就沒轍了。因此齊格（J.Cheeger）發展出一套理論來涵蓋有不太突兀奇點的情況（見圖二）。

全純固然推廣了調和，其實本身也還只是個特例，高明的數學家總要從中間學習成功的經驗。於是英國的阿鐵亞（M. Atiyah）和美國的辛格（I. Singer）兩人聯手，在1963年做成了著名的「指數定理」（index theorem），相當深奧的理論。大意是，在曲面的矢叢（vector bundle）之間，賦予一個虧型微分算子，被算子消滅的截影，形成一個有限維的核空間，那些消滅不掉的，就在對岸成功登陸，占領了相當大的部分，只剩下一個也是有限維的餘核空間。這個算子的指數就是這兩個──核和餘核──空間維數的差。當然指數所反應的是原來微分算子的性質，既然是用微分手段，所以是個解析量。指數定理說，其實也是個拓樸量。這個定理大小通吃，把迪讓和哈奇的理論全涵蓋了。自從1960年代問世以來，每隔數年，就有個新的證明或應用出現，專門從事研究這個定理已成了一個重要的行業。

1960年代真是個爆炸性的時代，最先是法國的湯赫內（René Thom）在1954年提出共邊論（cobordism），跟著德國的賀芝柏（F. Hirzebruch）證明「署字定理」（signature theorem），然後在美國的繆納（J. Milnor）手上集大成，在1956年作出一個七維的怪胎。先利用一件稍弱於彭卡瑞猜測的結果〔美國人史昧（S. Smale）去巴西遊玩，解決這個問題是後來1960年的事〕，證它與球面拓樸「同胚」（homeomorphic），再用湯赫內和賀芝柏的結果，證它與球面微分異構。微分拓樸這門學問於焉誕生。歲月匆匆，如今也到而立之年。上述點到名的諸人，除了辛格和賀芝柏外，都賞了一個費爾茲獎（數學裡的諾貝爾獎）以為鼓勵。這段熱鬧沈寂下來後，等再下雨，讓蘑菇出頭，已經是二十年後的1980年代了。這且是後話，有機會再說這段故事。

解析的看法

喝咖啡時常伴著甜甜圈吃，為的是咖啡太苦傷胃。講究的甜甜圈上還有一層粉糖，甚至於巧克力。想想當初澆巧克力時，直的來，會是什麼樣子。水就溼，火就燥，當然是向下流動。拿數學的術語來說就是擺直了一個環面，歪斜一點也成，就忌像麵包師傅那樣擺平的，否則下面的討論就不靈了。所謂向下流動，就是高度函數向下探底的梯度，流到不動，留滯的地方就是臨界點。除了最大和最小是起碼的兩種臨界點外，還有鞍點。這些點可以這樣分類：函數在臨界點的第二次微分，是個對稱的矩陣，有兩個固守值（eigen value），可正可負，但必然非零。臨界點能有幾個負的固守值就是它的指數。比方說，最大值的指數是2，鞍點是1，最小值是0。有相同指數K的，自成一類，這夥的個數叫C_K，則有摩斯（M. Morse）的公式（見圖三）：

x=C₀-C₁+C₂

這是變分學上很重要的式子，它把極值問題和拓樸扯上關係。如果鎯頭是你手上唯一的工具，所有你遭遇到的問題，有理沒理，都把它看成是釘子，敲它一記。因此每回有個函數，老陳會說：「微分一下，看看臨界點是什麼樣子。」長度的臨界點是光的軌跡，面積的臨界點是肥皂泡膜，曲率的臨界點是規範場。說也奇怪，多少問題也就這樣解決了，摩斯論這個鎯頭挺管用的。

一個有邊的曲面，在邊上曲折地方的角度，總和為R₀，沿著邊的測地曲率，做線積分為R₁，最後整個曲面的高斯曲率，做面積分為R₂，則有著名的高斯（C. Gauss）和朋涅（O. Bonnet）公式：

2πx＝R₀－R₁＋R₂

通常這個式子用在無縫邊的曲面上，前兩項自然消失，意思很明白：如果局部每個點的資訊都充分的話，大域的輪廓形狀也就知道了，所以一隻螞蟻，不必飛起來看，也會知道牠爬的是塊蛋糕，還是個甜甜圈。

幾何的看法

除非是禿頭，每個人腦袋上一定有個髮渦。甚至還有兩個的，據說這種人天賦異稟，十分聰明。曾經有個高中同學，就長了兩個髮渦，而且兩渦之間，頭皮也都糾纏在一起，果然成績了得。因為圓顱而有髮渦，固然是曲面的拓樸決定了矢場的性質，始料不及的是，因為兩個髮渦而使得頭皮糾結，表示反過來矢場也主宰了曲面的幾何。這個髮渦其實很有點學問在裡頭。髮渦的位置就是矢場的奇點，每繞奇點一圈，矢場也隨著轉個不定的圈數，叫它做d，就是奇點的指數。把曲面上所有的奇點指數加起來，就得了下面的哈夫（H. Hopf）公式（見圖四）：

順便一提的，陳省身引伸高斯-朋涅公式到高維曲面，用的也是這個公式。基本上，透過矢場，把單位矢叢上的曲率形式拉回到曲面上，成為歐拉形式──e（M），積分之後，用史托克斯定理（Stokes'），換算成奇點的指數，於是就有了陳-高斯-朋涅公式

圖五，敢情是窮措大被房東逼急了，畫個蝸牛殼來安慰一番。其實不然，這是一個全純映照的示意圖。平方函數f(z)=z²把黎曼球面映回到自己，為了要顯示其間過程的轉折變化，所以讓外圈逐漸膨脹，層次才清楚。重要的是可以看出0和∞是兩個分歧點，除此之外的每個點都被覆蓋兩次。有了這個經驗，就可以敘述黎曼（B. Riemann）和霍維茲（A. Hurwitz）的公式。把曲面看成黎曼曲面，其上的半純（meromorphic）函數，只有極而沒有其他的奇點，這個函數可當做由曲面到黎曼球面的全純映射。它必然是映成而且是個有分歧的多重覆蓋，假設B是分歧點的個數，重複照算，n是覆蓋的層數，則有

x=2n-B

總的來看，原始只是用組合方法拼湊出來的示性數，結果牽扯出拓樸、幾何、微分方程式和函數論，幾乎涵蓋了數學本身大部分的領域。這還沒提到物理上有關電荷、量子數等等糾纏不清的關係。然而在紛亂之中，都明顯的看出有一條脈絡，示性數的面貌雖然千變萬化，在芸芸眾多的理論裡，總是最重要的角色。孔子不早就說過：「吾道一以貫之。」其捨示性數而誰歟？

參考資料

1. 蘇步青 拓樸學初步 亞東書局 1991年

2. 伍鴻熙 緊黎曼曲面引論 聯經公司1980年

3. 熊全智 A First Course in Differential Geometry 美亞書局 1981年

符之琪任教於東吳大學數學系

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