清初西方代數的輸入

公元1859年，李善蘭與偉烈亞力（A. Wylie）在合譯《代數學》中，首先將英文字「algebra」翻譯成「代數學」，這是中文字「代數學」的最早出處。

敲定這樣的譯名，偉、李兩人的考慮顯然是：

用字代數、或不定數、或未知之定數，俱以字代之。恆用之已知數，或因太繁，亦以字代，如周字代三.一四一五九二七為圓周率，又訥字二.七一八二八一八為訥白爾對數底率。

此外，他們也注意到：

欲明代數，須先明數學，最要者，分數之理，若未明，必先考求之，此代數之捷徑也。

據此，我們或可推論：「代數學」一詞的翻譯，也得力於「數學」和「代數」的對比。在《代數學》的英文原著《Elements of Algebra》（1835年）中，作者棣麼甘（A. De Morgan）開宗明義就指出此一鮮明對比，而中文所謂的「數學」即是指英文字「arithmetic」。

把「arithmetic」譯成「數學」，可能出自偉烈亞力的建議。偉烈亞力於1853年曾以中文撰成《數學啟蒙》，其英文（譯）名正是《A Compendim of Arithmetic》由於該書專譯筆算，「起加減乘除諸分比例，至開諸乘方對數而止」，因此，偉烈亞力把這些內容歸入所謂的「數」之「學」，是名副其實的：既然arithmetic是一種「數」之「學」，那麼algebra當然是一種「代數」之「學」了。

儘管「代數學」在中文辭彙中出現是這麼晚近的事，然而早在十八世紀初，西方代數學知識即已傳入中國。1711年，康熙皇帝與直隸巡撫趙宏燮討論數學時，曾提到：

算法之理，皆出於《易經》，即西洋算法亦善，原係中國算法，彼稱為「阿爾朱巴爾」，「阿爾朱巴爾」者，傳自東方之謂也。（《東華錄•康熙四九》）

其中「阿爾朱巴爾」顯然是algebre（法文）的音譯。隔年，梅成入宮肄業於暢春園的蒙養齋，負責主編《數理精蘊》等書，康熙皇帝利用這個機會授以傳教士傳入的代數學──「借根方法」，並且諭曰：

西洋人名此書為阿爾熱八達，譯言東來法也。（梅成《赤水遺珍》）

據梅成的說明，《阿爾熱八達》「全書入《數理精蘊》中」，至於「借根方法，原名東來法，今名乃譯書者就其法而質言之也。」

成的「西學源出中國說」">梅成的「西學源出中國說」">成的「西學源出中國說」

《阿爾熱八達》書名當是algebra（英文）的音譯，原版究竟為何，那一位傳教士譯成中文並授以康熙皇帝，都無從查起。不過，這部書的傳入，卻意外地讓梅成為「西學源出中國說」找到最有力的註腳：

嘗讀《授時歷》草求弦矢之法，先立天元一為矢，而元學士李冶所著《測圓海鏡》亦用天元一立算，傳寫魯魚，算式訛舛，殊不易讀。前明唐荊川、顧若溪兩公，互相推重，自謂得此中三昧。荊川之說曰：藝士著書，往往以祕其機為奇，所謂立天元一云爾，如積求之云爾，漫不省其為何語。而若溪則言細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑即以一百二十為天元，既知其數，何用算為，似不必立可也。二公之言如此，余於顧說頗不謂然，而無以解也。後供奉內廷，蒙聖祖仁皇帝授以借根方法，且諭曰：西洋人名此書為《阿爾熱八達》，譯言東來法也。敬受而讀之，其法神妙，誠算法之指南。而竊疑天元一之術頗與相似，復取《授時歷》草觀之，乃渙如冰釋，殆名異而實同，非徒曰似之已也。夫元時學士著書，台官治歷，莫非此物，不知何故遂失其傳，猶幸遠人慕化，復得故物，東來之名，彼尚不能忘所自，而明人獨視為贅疣而欲棄之。噫！好學深思如唐顧二公，猶不能知其意，而淺見寡聞者又何足道哉！何足道哉！（《赤水遺珍》＜天元一即借根方解＞）

為了證明「立天元一之法」（或「天元術」）與「借根方法」名異而實同，梅成隨即舉例分別以「借根方法」解「《授時歷》立天元一之求矢術」、「《測圓海鏡》立天元一之法」、「《四元玉鑑》立天元一如積求之之法」等等，在近代中西會通的歷史過程中，留下了極為珍貴的紀錄。

舉例之前，梅成還進一步解釋「借根方法」的意義：

借根方（之）法，原名東來法，今名乃譯書者就其法而質言之也。根者線也、面之界也、體之楞也。凡布算先借一根為所求之物，與借衰略相似。借根而並言方者，初入算雖只借根，但根乘根則成平方，根乘平方則成立方，以及屢乘至多乘方，俱所必用，故名之曰借根方法也。

緊接著他利用這一方法分別求解一、二次方程各一，詳細說明了列方程式的過程。譬如，針對該二次方程問題：

設有一長方，其長闊和七尺，又有大小二正方，大方等長方之長，小方等長方之闊。三方面積共三十七尺，問長與闊各幾何？

梅成「借一根為長方之闊，則長方之長為七尺少一根。以一根自乘得一平方，為小方面積。以七尺少一根自乘，得四十九尺少十四根多一平方，為大方面積。以一根與七尺少一根相乘，得七根少一平方，為長方面積。三面積相加，得一平方多四十九尺少七根，與三十七尺相等。」並且列式如下：

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其中他用「⊥」表示加號（或正號），意即「多」；用「－」表示減號（或負號），意即「少」，唯恐減號與中文數字「一」混淆，因此特將它拉長，連帶地「⊥」和等號「＝」也一併拉長。至於解法如下：

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「乃以十二尺為實，七根作七尺為長闊和，用和縱平方開之，得闊三尺，闊減和，餘四尺為長，合問。」

這兒請容許我們運用符號代數的語言，將上述解法翻譯如下：

設此長方（形）的闊為x，則長為7－x，小方（面積）為x²，大方（面積）為(7－x)²＝49－14x²＋x²，長方（面積）為x(7－x)＝7x－x²。這三個面積和等於37（平方）尺，故

x²＋(49－14x＋x²)＋(7x－x²)＝37

或

x²＋49－7x＝37

或

x²＋49＝7x＋37（「兩邊各加七根」）

或

x²＋12＝7x（「兩邊各減三十七尺」）最後解二次方程（「用和縱平方開之」），得x＝3。

對於所謂的「用和縱平方開之」，梅成並沒有進一步說明。不過，我們在《數理精蘊》卷三十三的例題中，找到相同的解法：

設如有一平方多三十六尺，與十三根相等，問每一根之數幾何？

法以三十六尺為長方積，十三根為和十三尺，用帶縱和數開平方法算之。將積數四因，與和自乘數相減，餘二十五尺，開平方得五尺為較，與和十三尺相減，餘八尺，折半得四尺，為一根之數，即長方之闊，加較五尺，得九尺，即長方之長也。

換句話說，如設數值方程

x²＋n＝mx

其中m，n＞0，則上述解法即相當於

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事實上，這個解法正是我們所熟知的二次方程式公式解法。至於這種方程的表達形式和解法，則可逆推義大利數學家卡丹（G. Cardano,1501∼1576年），甚至追溯到第九世紀阿拉伯數學家阿爾花拉子模（Al-Khwarizmi）。

值得注意的，是《數理精蘊》並未論及文字係數方程的解法，只有在對二次方程進行分類時，才提及首項係數為1的一般二次方程，譬如所謂的「一平方多幾根，與幾真數等」即是指

x²+bx=c，

其中b, C當指文字係數。這一套形式和術語後來為數學家汪萊（1768∼1813年）所延拓，而成為他的方程論之立足點，詳見他的《衡齋算學》卷五和卷七。

現在，讓我們來考察梅成如何「用借根方解《測圓海鏡》立天元一之法」。首先，他引述了《測圓海鏡》的一個問題及其「天元術」解法，接著，他再以「借根方法求之」，結果，他證明不僅可以得到相同的解，而且「其理更明」。這裡，我們分別用現代的數學符號，對照「天元術」和「借根方法」，進行相應的解釋。他引述的問題如下：

〔假令有圓城一所，不知周徑，四面開門。〕或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行兩百步見之，問城徑幾何？答曰：城徑兩百四十步。

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其次，我們再來看看梅成如何用「借根方法」來解這個問題：（在下文右欄中，我們抄錄他的列式）

借一根為半徑，於南行步內減去半徑，得四百八十步少一根為餘股。於東行步內減去半徑，得兩百步少一根為餘句。兩數相乘，得九萬六千步少六百八十根多一平方為城徑冪之半，存之。

又置一根自乘，倍之得二平方，亦為城徑冪之半，與存之之數為相等，乃加減之兩邊各減一平方，各加六百八十根，得一平方多六百八十根，與九萬六千步為相等。乃以九萬六千為實，六百八十為縱，用帶縱平方開之，得一百二十步為一根之數，即城之半徑也。

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由此可知，「借根方法」和「天元術」的確「名異而實同，非徒曰似之已也！」不過，「東來法」是否即是「來自中國的方法」，可能永遠沒有答案。儘管如此，「西學源出中國說」，卻對清中葉數學研究，發揮了意識型態的功能，而使得中國傳統數學在挨過明朝三百年的衰落、明末清初的中西會通之後，又出現了由談天三友焦循、汪萊和李銳揭開序幕的十九世紀前期中國數學──傳統中算，在匯入數學潮流之前的最後一個「獨立自主」發展時期！

在這裡，我們不能深入討論十九世紀中國數學，這樣一個有重大意義的歷史問題，正等著中算史家以更大的熱情投入，希望到公元2000年時，我們可以更清晰地呈現十九世紀中國數學的風貌！

中國古代的代數

為了比較「借根方法」和「天元術」，在這裡我們也有必要扼要追溯中國古代的代數發展。從西漢時代開始，中國古代數學家即在成熟的籌算制度（含加、減、乘、除、開平、立方運算）上，逐漸提出「方程術」（聯立一次方程消元解法）以及二、三次方程的數值解法。到了宋元時代，更是在北宋賈憲「開方作法本源」圖（或巴斯卡三角）上，由南宋數學家秦九韶發展出「正負開方術」（或霍納法，即高次方程的數值解法）。大約同時，北方的金國數學家李冶也總結了「天元術」，對列方程式的方法做了集大成的工作。最後，再由元代數學家朱世傑結合「方程術」和「天元術」，而發明「四元術」──聯立多元高次方程消元解法。

天元術當然也是一種代數學。從李冶的《測圖海鏡》和《益古演段》、朱世傑的《算學啟蒙》和《四元玉鑑》來看，十三世紀的中國數學家已經能夠熟練地演算多項式的加、減、乘、除，而且也能操作類似阿爾花拉子模代數學的「對消」和「移項」之「同數相消」或「如積相消」。

康熙皇帝扮演了主導角色

這麼說來，天元術的發展，由於時間較晚，究竟有沒有受到阿拉伯數學家阿爾花拉子模的影響呢？

根據數學史家錢寶琮的看法，天元術為十三世紀中國北方數學家發明，殆無疑問，因為天元術與阿爾花拉子模代數術之相異點共有四端：

天元術以籌策運算，代數術全恃文字說明，其不同一也。天元術之各項常正負相雜，代數術則無所謂負項，其不同二也。天元術可解高次方程式，阿拉伯人代數術只知解一次或二次方程式，其不同三也。天元解任何高次方程式僅知求一正根，而阿拉伯人代數術解二次式已知有二根，其不同四也。

此外，除了李冶在《益古演段》中，把天元術和條段法做適當的連繫外，我們也應注意：中國數學家似乎並不重視方程解法的幾何演示或解釋。

像這樣的對比，並沒有出現在《赤水遺珍》（梅成著）或《數理精蘊》（梅成主編）之中，甚至像梅成那些利用「借根方法」解中國古代曆算問題（當然包括天元術問題）的例題，都不曾收入《數理精蘊》之中。至於其原因究竟，我們並不清楚，很可能是在這個脈絡中，《數理精蘊》被要求維持「西法」的風貌。如果是這樣的話，那當然是敕編者康熙皇帝的主張了！

事實上，在《數理精蘊》編著的過程中，康熙皇帝理應扮演了主導性的角色。根據法國漢學家C. Jami的研究，由於康熙皇帝對「符號代數」採取否定態度，因此，《數理精蘊》遂不納入當時傳入的《阿爾熱巴拉新法》。

新代數的傳入受挫了

《阿爾熱巴拉新法》是法國耶穌會士傅聖澤（J.-F. Foucquet, 1665∼1741年）為康熙皇帝學習「新代數」而寫的。1711年以後，傅聖澤應召入宮陪侍康熙皇帝研讀西方天文書籍。據傅聖澤自述，有一天他在伴讀時，「陛下開始談起代數……他望著我，想知道我對代數的想法。」傅聖澤回答時提到了一種「新代數」，它比「舊」代數更簡單、一般。於是，康熙要傅聖澤以此為題寫一份報告，寫好之後呈送康熙皇帝（他當時在熱河避暑），並由另一位法國耶穌會士杜德美（1669∼1720年）負責講解。

由於杜德美生病，所以傅聖澤的報告正要涉及二次方程時就中斷了。一年以後，康熙皇帝試圖和他的幾個兒子研讀這份報告《阿爾熱巴拉新法》，儘管他們都學過西方數學，然而皇帝的反應卻是：

諭王道化：朕自起身以來，每日同阿哥等察阿爾熱巴拉新法，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處亦甚多，鶻突處也不少。前者朕偶爾傳於北京西洋人開數表之根，寫的極明白，爾將此諭抄出，並將此書發到京裡去，著西洋人共同細察，將不通的文章一概刪去。還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平爾。太少二字即可笑也，特諭。（《掌故叢編》二輯《清聖祖諭旨》）

這份諭旨或其相當內容的文件也曾及時地送到傅聖澤手上（目前由羅馬梵蒂岡教皇圖書館收藏），因此，當時活躍在北京的傳教士不可能不知情，在這種情形下，傳教士縱使有心引進較「新」的西學，恐怕也不免猶豫起來了。

基於類似的理由，梅成似乎也不可能從傳教士那兒學到這種「新代數」，儘管他的《赤水遺珍》介紹了杜德美傳入的「求周徑密率捷法」及「求弦矢捷法」，為十八世紀清代「西法派」算學家留下了極珍貴的資產。不過，如果相反的事實成立，也就是說，如果梅成的確曾經接觸過這種「新代數」（不管是經由康熙或杜德美或傅聖澤），那麼，他的反應也同樣值得我們特別注意。一個我們可以立刻發問的問題便是：要是他確曾接觸過這種「新代數」，何以他沒有做出任何反應？

韋達創立「符號法則」

這樣的問題或許永遠沒有答案，不過，《阿爾熱巴拉新法》的內容，也可能提供我們若干思考的空間。現在，就讓我們轉到這一本書上，來看看它的內容究竟「新」到什麼程度。

根據C. Jami的研究，目前收藏在羅馬梵蒂岡教皇圖書館的《阿爾熱巴拉新法》中文手稿，即使不是呈獻給康熙皇帝的那一份抄本，至少也是它的草稿本。傅聖澤還用法文寫了一篇《代數概論》（Abrege d'Algebre），或許正是《阿爾熱巴拉新法》的法文稿本，至於其來源，則可能出自法國數學家普列斯特（J. Prestet, 1648∼1690年）的《數學新基礎》（Nouveaux elements de mathematiques, 1675）。普列斯特的這一部書到1695年已發行四版，我們從數學史家R. E. Rider所搜集的三百年（1500∼1800年）代數書目中，可以看得出它是十七世紀末期蠻受歡迎的「新代數」書籍。因此，推測傅聖澤的《代數概論》出自普列斯特的《數學新基礎》，當然是頗合理的假設。

這裡所謂的「新」，當然是指法國數學家韋達（F. Viète, 1540∼1603年）創立的「符號法則」（symbolism）。由於他不僅利用符號（字母）代表未知數，而且也用以代表已知數；此外，他還嚴格區分算術與代數，前者只處理數目，而後者則更進一步處理事物的形式（species or forms of things）。在這種情形下，他研究方程式時，主要著眼於它的一般形式，而非個別的特定方程式。換句話說，由於他的「符號法則」，「方程式理論」（theory of equations）這一門新的學問終於成形了。

在韋達之後，代數不再只是一種解題的技術，它已經被認為是一種「合法的」數學語言了。而為了強調這種符號代數的特性，他的數學全集《Opus restitutae mathematicae analyseos: Seu, algebra nova》（1624）還特別標上了「新代數」的頭銜，甚至到了1646年，義大利數學家J. de Luneschlos出版《Thesaurus mathematum reseratus per algebram novam》時，也仍然標榜它是一本「新代數」著作。

通融記號妙用無窮

就傅聖澤的《阿爾熱巴拉新法》來說，它的「新」當然名副其實，因為該書卷一第一節即在強調「新法與舊法之所以異」：

或問：阿爾熱巴拉舊法，乃最深遠之法也，何為又有新法，意必舊法猶有未善者與？

答曰：舊法未嘗不善，但於通融之處，有所不及也，故又有新法以濟之。

或問：舊法於通融之處有所不及，新法濟之，二法何以別乎？

答曰：新法舊法，其規大約相同。所以異者，因舊法所用之記號，乃數目字樣，新法所用之記號，乃可以通融之記號，如西洋即用二十二字母，在中華可以用天干地支二十二字以代之，蓋支干字，皆人所習熟者，故用之之際，自無錯誤。

接著，傅聖澤更進一步說明「通融記號」（即代數符號）的便利與巧妙：

或問：所未知者，固以通融記號為便矣，若所已知者，何為亦以通融記號為愈乎？

答曰：用通融記號之妙，難以枚舉。如於算之之際，或加減乘除、平方立方等等記號，常常不變，令人一見原號，俱各了然。若用數目字，必隨處變換，一變之後，人即難知其原數，並原數所成之諸方，亦莫辨矣。若用通融記號，算之甚簡便，觀之省心思目力，斯可以耑心於此法，而無他歧之擾，可得所求之理矣！若用數目字成一法，所得之理，只可執定用於本數；若用通融記號，則總括諸數，無所不通。

於是，傅聖澤「誠以一式明之。假如有一題，凡兩個數目字之平方，必包面四件，乃每字之平方，與兩字相乘之兩長方，今將十二之兩數目字以發明其理。」（見圖）試看下列二式及其幾何解釋：

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傅聖澤期待讀者可以：

明知其總方，函甲之平方，「乙之平方」，並甲與乙相乘之兩長方。今甲與乙，即可代凡兩字之數，則知不但十二之平方，凡兩數目字之平方，皆包函此四件。觀此，則知開平方之法，從此而出，即開立方乘方等方之法，亦無不可從此而推矣。

最後，他更強調：

是故前曰：用此記號，為通融之法也。總之於易解之題中，雖偶有一、兩題，舊法似便於新法者，若大概而論，則新法比舊法亦捷、亦簡、亦總括、亦通融。但法中條項甚多，……其名目煩難，又皆非所素問者，況單用字作加減乘除之法，既畢，總無數目可見，似為無用。若將新法始終本末，講究精熟，然後雖遇至難之題，以法求之，無論已知之數、與未知之數，皆可就此天干地支字，豁然以解，故言之不如用之，方可見耳。

顯然，康熙同他的幾位兒子讀到這裡就無以為繼了，因為正如他諭王道化（見前引文）所說的：「甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少」，並據以批評傅聖澤「算法平平」，而這些只不過是《阿爾熱巴拉新法》卷一第一節而已！

《阿爾熱巴拉新法》卷一第二節開始介紹符號的四則運算法則（用天干表示係數、地支表示未知數），至於運算符號則規定如下：

阿爾熱巴拉之大旨，既為因所已知者，求所未知者，必使之相等。其相等之記號，即用此。然欲使之相等，必有加減之處，其加為多，多之記號即用此，其減為缺，缺之記號即用此。

另一方面，如將符號並列：甲乙、甲乙丙即分別表示甲和乙，甲、乙和丙相乘。在除法方面，如「將甲與乙上下書之，中間作一橫畫相隔」成甲/乙，即表示甲除以乙。

有了這些準備工夫，在《阿爾熱巴拉新法》卷二中，傅聖澤先介紹方程式、線性方程組的分類，然後再論述它們的解法。不過，他並沒有涉及非線性方程式，譬如二次方程式的解法。因此，假如康熙及他的幾位兒子無法領略一般符號的運算意義，那麼，《阿爾熱巴拉新法》就沒有多少新奇之處了，因為《數理精蘊》中的線性方程組的解法，應該是康熙學習西洋「借根方法」的部分內容，他當然也可能讀過《九章算術》卷八＜方程章＞所論述的線性方程組的解法。

新代數何以湮沒無聞？

在這種情況下，康熙不把《阿爾熱巴拉新法》納入《數理精蘊》自是可以想像。當然，問題也可能出在傅聖澤的符號運算「引進」工作上。在前述12²=(10+2)²和（甲＋乙）²的對比中，C. Jami認為在兩個數目字並列時，傅聖澤是按照「位值制」來理解，至於兩個代數符號的並列，則是按結果來理解，這種混亂的解釋，可能是導致《阿爾熱巴拉新法》無法被康熙接受的原因之一。

這當然也可能涉及傅聖澤的數學造詣。事實上，《阿爾熱巴拉新法》的體例頗為紊亂，譬如在卷二第十四節＜釋凡有數相等，以順序用清字代字之法，有一定之規＞之前，就曾經列有一節，其標題相等，但內容並不一致。這個現象或許無傷大雅，但下列這個例子，實在可以證明傅聖澤對「新代數」的認識並不怎麼高明。在《阿爾熱巴拉新法》卷二第八節中，我們可以發現傅聖澤如何處理像－a＝－x這樣的式子：

或問：所書表式中，有如此之式者：甲亥，夫缺必有所從缺，如乙甲或丙亥，此為法之當然也。乃甲與亥之前，並無他字，則甲、亥卻是從何缺起？

答曰：從空缺起。設空之記號，若可為此圈○，則當書○甲、○亥。如此表式雖所罕見，然阿爾熱巴拉法中，亦往往有用之之處也。

或問：既云空矣，於空之中，尚可缺去何物？

答曰：非自空中，又實取一物以缺去之也。如有人於此，銀無分釐，可謂空矣，乃又欠人銀十兩，非自空缺十兩乎？又如有人欲南至一處，相隔百里，乃出門卻往北行十里，豈非自原處反缺十里乎？

或問：似此於阿爾熱巴拉法，有何干涉？

答曰：難言也，作之既久，自有用之之時，則不問可知矣！

從符號代數的觀點看，－a與0－a、－x與0－x都同義，因此，在符號演算過程中，邏輯的一致性可以得到保證，而不是像傅聖澤所說的，「作之既久，自有用之之時」！

對這樣的符號法則作如此笨拙無知的解釋，在傅聖澤的時代裡，或許不只他一人而已，普列斯特乃至其他的數學家極有可能也有同樣的不足。其實，即使到了十九世紀早期，以符號法則處理虛數運算問題仍然十分惱人，譬如棣麼甘在他的《代數學》中處理二次方程的共軛虛根時，就建議我們用比較「為便」的式子：（a,b＞0），然而，他忘了告訴我們：假使用了比較不「為便」的式子，譬如，那麼，二次方程及其根的理論會不會保持邏輯上的一致性呢？

《阿爾熱巴拉新法》顯然是傅聖澤硬著頭皮「逼」出來的，因此，當康熙皇帝覺得這種新代數沒有「意義」時，傅聖澤一時之間也提不出任何圓滿解釋。如此看來，《阿爾熱巴拉新法》的命運，似乎一開始就注定了。在這種情況下，康熙皇帝對《阿爾熱巴拉新法》的負面評價而導致該書的湮沒無聞，當然也不需要苛責，換了另外的算學家譬如梅成或明安圖，說不定他們的反應也是一樣的！

總之，我們應該可以確定：十八世紀初的中國算學傳統尚未具備接受符號代數的文化。誠然，「為了進一步研究方程的根與係數的關係，還須有表示任意常數的符號，使立出來的方程能一般化。」（引錢寶琮語）然而，在欠缺符號法則的情況下，汪萊卻能在「借根方法」的基礎上，邁出方程論研究的全新方向，為「方程論」與「符號法則」之間的關係，提供了一個可以賦與不同詮釋的面向，值得數學史家三思！在結束本文之前，請容許我們抄錄汪萊方程論的兩個命題，以供讀者參閱：

有幾真數，多幾根積，與幾一乘方積相等。以幾根數為帶縱平方長闊較，以幾一乘方數乘幾真數為帶縱平方積，帶縱平方法開之得長根，以幾一乘方數除之，每根之數可知。（《衡齋算學》卷五）

意即二次方程ax²=c+bx（a, b, c為正數）只有一個正根（「可知」）。另一則是：

一平方正，幾根負，幾真數正。取根數二分之一自乘，與真數比，真數少或相等者，有；真數多者，無。（《衡齋算學》卷七）

意即對二次方程x²-bx+c=0（b,c為正數）而言，若(b/2)²－c≧0，則有正根；若(b/2)²－c＜0，則無正根。

參考資料

1. 李迪 《中國數學史簡編》 遼寧人民出版社 1984年

2. 李儼、杜石然 《中國古代數學簡史》香港商務 1976年

3. 錢寶琮 《中國數學史》 北京科學出版社 1981年

4. 錢寶琮 《錢寶琮科學史論文選集》北京科學出版社 1983年

5. De Morgan, A. 《代數學》 上海墨海書館 1958年

6. Foucquet, J-F. 《阿爾熱巴拉新法》

7. Jami, C., “The conditions of transmission of European mathematics at the time of Kangxi: J. F. Foucquet's unsuccessful attempt to introduce symbolic algebra”, 5th ICHCS, 1988.中譯文見許進發，＜康熙時代歐洲數學傳播的情況＞，《科學月刊》第二十一卷第二期，1990年；或徐義保，＜歐洲數學在康熙年間的傳播情況──傅聖澤介紹符號代數嘗試的失敗＞，收入李迪主編《數學史研究文集》第一輯，內蒙古大學出版社，1990年。

8. Mahoney, M., “The beginnings of algebraic thought in the seventeenth century”﹐收入S. Gaukroger（ed.）, Descartes: Philosophy, Mathematics and Physics, Sussex: The Harvester Press, 1980.

9. Rider, R. E., A Bibliography of Early Modern Algebra: 1500-1800, Berkeley: Univ. of California Press, 1982.

10. Witek, J. W. S. J., Controversial Ideas in China in Europe: A Biography of Jean-Francois Foucquet, S. J.（1665-1741）, Rome: Institutum Historicum S. I., 1982.

後記：本文得以寫成，必須感謝巴黎友人馬若安（Jean-Claude Martzloff）博士賜贈《阿爾熱巴拉新法》複本；以及內蒙古李迪教授惠下棣麼甘《代數學》複本。另外，許進發君也代為搜集緊要的文獻，謹此致謝！

洪萬生任教於師範大學數學系，本刊編輯委員

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